Question

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F、M、N分别是A₁B₁、BC、C₁D₁、B₁C₁的中点.

(1)用向量方法求直线EF与MN的夹角；

(2)求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；

(3)求二面角N-EF-M的平面角的正切值.

Answer 1

思路解析:本题利用线线角、线面角、面面角的求法.

解：设=i，=j，=k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系A—xyz，

则有E(，0，1，)，F(1，，0)，M(，1，1)，N(1，，1).

(1)∵

∴

∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.

(2)由于=(0，0，1)，

∴=0.∴FN⊥MN.

∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.

又MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.

(3)在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连结MG，由三垂线定理，得MG⊥EF.

∴∠MGN为二面角N-EF-M的平面角.

在Rt△NEF中，NG=

∴在Rt△MNG中，tan∠MGN=

∴二面角M-EF-N的平面角的正切值为.