Question

在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝2，AA₁＝a，E，F分别为AD，CD的中点.

（1）若AC₁⊥D₁F，求a的值；
（2）若a＝2，求二面角E－FD₁－D的余弦值.

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）首先建立空间直角坐标系，列出各对应点坐标，表示对应向量坐标，(－2，2，a)，(0，1，－a)，再根据空间向量数量积定义，得到2－a²＝0，从而求出a的值，（2）先判断二面角E－FD₁－D为锐二面角，所以求二面角E－FD₁－D的余弦值，就转化为求两个平面法向量夹角的余弦值的绝对值.又平面FD₁D的一个法向量为,所以关键求平面EFD₁的一个法向量n＝(x，y，z)，利用 n⊥，n⊥可求出x＝y＝2z，取其一个法向量为n＝(2，2，1)，再利用空间向量夹角公式，就可得到二面角E－FD₁－D的余弦值.
试题解析：解 如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，

DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴，建立坐标系．
（1）由题意得A(2，0，0)，D₁(0，0，a)，C₁(0，2，a)，F(0，1，0)．
故 (－2，2，a)， (0，1，－a)．    2分
因为AC₁⊥D₁F，所以，即(－2，2，a)·(0，1，－a)＝0．
从而2－a²＝0，又a＞0，故．                       5分
（2）平面FD₁D的一个法向量为m＝(1，0，0)．  设平面EFD₁的一个法向量为n＝(x，y，z)，
因为E(1，0，0)，a＝2，故＝(－1，1，0)，(0，1，－2)．
由n⊥，n⊥，得－x＋y＝0且y－2z＝0，解得x＝y＝2z．
故平面EFD₁的一个法向量为n＝(2，2，1)．              8分
因为，且二面角E－FD₁－D的大小为锐角，
所以二面角E－FD₁－D的余弦值为．                   10分