题目内容

已知sinθ+cosθ=m，θ∈（0，π）．（-1＜m＜1 ）
（1）求tanθ的值；
（2）若m= $数学公式$ ，求sin²θ-sinθcosθ+2的值．

解：∵sinθ+cosθ=m，θ∈（0，π）．①
∴（sinθ+cosθ）²=m²，即1+2sinθcosθ=m²，
∴2sinθcosθ=m²-1＜0，
∴cosθ＜0，sinθ＞0，
∴sinθ-cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，②
由①、②，得：sinθ= $\text{[math]}$ ，cosθ= $\text{[math]}$ ，
∴tanθ= $\text{[math]}$ ．
（2）∵m= $\text{[math]}$ ∴tanθ=- $\text{[math]}$ ．
sin²θ-sinθcosθ+2= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先将已知两边平方，得sinθcosθ＜0，故sinθ＞0，cosθ＜0，再通过平方法求sinθ-cosθ，与已知联立即可解得sinθ，cosθ，最后由同角三角函数基本关系式可得tanθ= $\text{[math]}$
（2）若m= $\text{[math]}$ ，则由（1）可得tanθ=- $\text{[math]}$ ，然后将所求三角函数式化为二次齐次分式，分子分母同除以cos²θ，最后将tanθ=- $\text{[math]}$ 代入计算即可
点评：本题考察了同角三角函数基本关系式及其应用，sinθ与cosθ的和差积商间的关系，整体代入的思想方法．