Question

（2012•房山区一模）设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：
①

an+an+2

2

＜an+1；②存在实数M，使a_n≤M．（n为正整数）．在以下数列
（1）{n²+1}；  （2）{

2n+9

2n+11

}；  （3）{2+

4

n

}；  （4）{1-

1

2n

}
中属于集合W的数列编号为（　　）

A．（1）（2）

B．（3）（4）

C．（2）（3）

D．（2）（4）

Answer 1

分析：根据集合W是否满足①

an+an+2

2

＜an+1；②存在实数M，使a_n≤M．（n为正整数）这两个条件的集合，说明根据函数的单调性，判定数列是否存在最大值，从而可判定选项．

解答：解：（1）∵an=n2+1，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=n²+1+（n+2）²+1-2（n+1）²-2
=n²+n²+4n+4-2（n²+2n+1）
=2＞0，
∴

an+an+2

2

＞an+1，
∴（1）不属于集合W；
（2）∵a_n=

2n+9

2n+11

，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=

2n+9

2n+11

+

2(n+2)+9

2(n+2)+11

-2×

2(n+1)+9

2(n+1)+11

=1-

2

2n+11

+1-

2

2n+15

-2+

4

2n+13

=

4

2n+13

-

2

2n+11

-

2

2n+15

＜0，
∴①

an+an+2

2

＜an+1成立．
a_n=

2n+9

2n+11

=1-

2

2n+11

＜1，
满足集合W的两个条件，从而可知（2）属于集合W；
（3）∵an=2+

4

n

，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=2+

4

n

+2+

4

n+2

-4-

8

n+1

=

4

n

+

4

n+2

-

8

n+1

＞0，
∴

an+an+2

2

＞an+1，
∴（3）不属于集合W；
（4）由an=1-

1

2n

，得a_n+a_n+2-2a_n+1≤0
所以数列{a_n}满足①

an+an+2

2

＜an+1；
当n趋向无穷大时，an=1-

1

2n

趋近于1，故a_n＜1，
满足集合W的两个条件，从而可知（4）属于集合W
故（2）（4）正确，
故选D．

点评：本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的单调性，同时考查了了分析问题的能力和计算能力，属于难题．