Question

在△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC
（1）求角B的大小；
（2）求2cos²A+cos（A-C）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理与两角和的正弦即可由（2a-c）cosB=bcosC求得cosB=

1

2

，从而可求△ABC中角B的大小；
（2）利用二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换可将2cos²A+cos（A-C）转化为1+sin（2A+

π

6

），再由0＜A＜

2π

3

与正弦函数的单调性即可求2cos²A+cos（A-C）的取值范围．

解答：解：（1）∵在△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∵sinA＞0，
∴cosB=

1

2

，B∈（0，π），
∴B=

π

3

；
（2）∵B=

π

3

，故A+C=

2π

3

，
∴C=

2π

3

-A，
∴2cos²A+cos（A-C）
=1+cos2A+cos（2A-

2π

3

）
=1+cos2A-

1

2

cos2A+

3

2

sin2A
=1+

1

2

cos2A+

3

2

sin2A
=1+sin（2A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

3π

2

，
∴-1＜sin（2A+

π

6

）≤1，
∴0＜1+sin（2A+

π

6

）≤2．
即2cos²A+cos（A-C）的取值范围是（0，2]．

点评：本题考查正弦定理的应用，突出考查二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换，求得2cos²A+cos（A-C）=1+sin（2A+

π

6

）是关键，也是难点，考查转化与运算能力，属于难题．