题目内容

设A、B、C及A₁、B₁、C₁分别是异面直线l₁、l₂上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA₁、BA₁、BB₁、CC₁的中点．求证：M、N、P、Q四点共面

证明： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
又∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），（*）
A、B、C及A₁、B₁、C₁分别共线，
∴ $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ =2λ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =ω $\text{[math]}$ =2ω $\text{[math]}$ ．
代入（*）式得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （2λ $\text{[math]}$ +2ω $\text{[math]}$ ）=λ $\text{[math]}$ +ω $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共面．
∴M、N、P、Q四点共面．
分析：根据题中的连线情况可知：MN、NP这两条线段分别可以放到△AA₁B、△BA₁B₁中，利用中位线定理找出它们的大小及平行关系，进行转化，而PQ则比较麻烦，没有一个现成的平面可以将其放进去，如果想把PQ转化成BC及B₁C₁的话，可以联想到向量进行转化，然后再由A、B、C及A₁、B₁、C₁分别共线，设定比例，再代入解决．
点评：此题将平面向量的基本定理运用到立体几何中的四点共面问题，是个不错的方法，体现了知识之间的相互联系．