Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=2
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PBC所成的角为30？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理可证明；
（Ⅱ）以点A为坐标原点，建立坐标系，CE与平面PBC所成的角为30，∴与平面PBC的法向量=（1，0，1）成60°，利用向量夹角公式可列一方程，解出即可．
解答：证明：（1）连接AC，则AC⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∴CD⊥平面PAC，又CD?平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD．
解：（2）建立坐标系，以点A为坐标原点，，，分别为x、y、z轴正方向，
则B（1，0，0），D（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
∴，设，
∴，
，，
设平面PBC的法向量，则，=（1，0，1），
CE与平面PBC所成的角为30，
∴与平面PBC的法向量=（1，0，1）成60°．
，得λ=0，即点E的位置为点D，
所以存在点E，与点D重合．
点评：本题考查面面垂直的判定及线面角的求解，向量方法是解决立体几何问题有力的工具．