Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²－2x＋5．

(1)若函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的值；

(2)是否存在正整数a，使得f(x)在(，)上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵在(，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 　　∴(x)＝3x2＋2ax－2 　　(1)＝0，∴a＝－　6分 　　(2)令(x)＝3x2＋2ax－2＝0． 　　∵Δ＝4a2＋24＞0，∴方程有两个实根，　8分 　　分别记为x1，x2．由于x1·x2＝－，说明x1，x2一正一负， 　　即在(，1)内方程(x)＝0不可能有两个解．　10分 　　故要使得在(，)上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是()·()＜0，即(＋a－2)(＋a－2)＜0． 　　解得．　12分 　　∵a是正整数，∴a＝2．　14分