题目内容

是否存在锐角α，β，使得下列两式：① $数学公式$ ；② $数学公式$ 同时成立？若存在，求出α和β；若不存在，说明理由？

解：由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
将②式代入得： $\text{[math]}$ ，与②式联立，解得： $\text{[math]}$ ，
或 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时，因为 $\text{[math]}$ ，这样的角α不存在，故只能是 $\text{[math]}$ ，tanβ=1，
因为α，β均为锐角，所以 $\text{[math]}$ ．
综上，存在锐角 $\text{[math]}$ ，使得①，②同时成立．
分析：由条件可得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，根据α，β为锐角，求出α，β 的值．
点评：本题考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，得到 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，是解题的关键．

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