题目内容

过椭圆右焦点F且倾斜角为45°的直线交椭圆于A、B两点，若|FB|=2|FA|，则椭圆的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：设椭圆的右准线为l，设A、B两点在l上的射影分别为C、D，连接AC、BD，过点B作BG⊥AC利用圆锥曲线的统一定义，再结合直角△ABG中，∠BAG=45°，可求出边之间的长度之比，可得离心率的值．
解答：

解：如图，设椭圆的右准线为l，过A点作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
在直角△ABG中，∠BAG=45°，所以AB= $\text{[math]}$ AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵|FB|=2|AF|，∴|BD|=2|AC|，
在直角梯形ABDC中，AG=BD-AC=AC，…②
由①、②可得AB= $\text{[math]}$ AC，
又∵AF= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ AC，
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考察了圆锥曲线的统一定义的应用，结合解含有45°的直角三角形，求椭圆的离心率，属于几何方法，运算量小，方便快捷．