Question

已知f(x)=(

x-1

x+1

)2(x≥1)
（Ⅰ）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（Ⅱ）设g(x)=

1

f-1(x)

+

x

+2，求g（x）的最小值及相应的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由反函数的定义，先将x用y表示出来，再交换x与y的位置即可得到函数的反函数，注意写出反函数的定义域；
（II）由于g(x)=

1

f-1(x)

+

x

+2可化为g（x）=(1+

x

)+

2

1+ x

，出现了积为定值，且等号成立的条件具备，故用基本不等式求出最小值及相应的x的值

解答：解：（I）f(x)=(

x-1

x+1

)2即y=(1-

2

x+1

)2
∵x≥1
∴0≤y＜1

x-1

x+1

=

y

∴x=

1+ y

1- y

∴f-1(x)=

1+ x

1- x

(0≤x＜1)
（II）g(x)=

1- x

1+ x

+

x

+2(0≤x＜1)=

(1+ x )2+2

1+ x

=(1+

x

)+

2

1+ x

≥2

2

当且仅当1+

x

=

2

1+ x

，即x=3-2

2

∈[0， 1)时取等号．
∴当x=3-2

2

 时，g(x)min=2

2

．

点评：本题考查反函数，解答本题，关键是熟练掌握反函数的定义以及求反函数的步骤，先用y表示x，再交换x与y的位置得出反函数的解析式，本题有一个易漏点，即忘记求出反函数的定义域．