Question

8．设a＞0，若${（{1+a\sqrt{x}}）^n}$的展开式中含x²项的系数等于含x项的系数的9倍，且展开式第3项等于135x，则a=3．

Answer 1

分析 根据二项展开式的通项公式，结合题意，列出方程组，求出a的值．

解答 解：∵${（{1+a\sqrt{x}}）^n}$展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•a^r•${x}^{\frac{r}{2}}$，
∴展开式中含x²项的系数是${C}_{n}^{4}$•a⁴，
含x项的系数是${C}_{n}^{2}$•a²，
∴${C}_{n}^{4}$•a⁴=9${C}_{n}^{2}$•a²，
即（n-2）（n-3）a²=9×3×4；…①
又展开式第3项T₂₊₁=${C}_{n}^{2}$•a²•x=135x，
∴n（n-1）a²=270；…②
由①、②组成方程组，解得n=6，a=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了方程组思想的应用问题，是综合性题目．