Question

已知A、B为圆O：x²+y²=4上的两点，且

OA

•

OB

=-2则劣弧 

AB

的长为（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  2π

  3

• C、

  4π

  3

• D、

  5π

  3

Answer 1

分析：由已知中A、B为圆O：x²+y²=4上的两点，我们可以设出A，B两点的坐标为A（2cosα，2sinα），B（2cosβ，2sinβ）（0≤β≤α＜2π），根据

OA

•

OB

=-2，构造三角方程，求出劣弧

AB

的圆心角，代入弧长公式，即可得到答案．

解答：解：∵A、B为圆O：x²+y²=4上的两点
不妨令A（2cosα，2sinα），B（2cosβ，2sinβ）（0≤β≤α＜2π）
则

OA

=（2cosα，2sinα），

OB

=（2cosβ，2sinβ）
∵

OA

•

OB

=-2
∴2cosα•2cosβ+2sinα•2sinβ=-2
即4cos（α-β）=-2
则cos（α-β）=-

1

2

则α-β=

2π

3

，或α-β=

4π

3

故劣弧

AB

的圆心角为

2π

3

故劣弧

AB

的弧长为

2π

3

×2=

4π

3

故选C

点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，圆的标准方程，向量的数量积公式，弧长公式，其中根据已知条件构造三角方程，求出劣弧

AB

的圆心角，是解答本题的关键．