Question

（本小题满分12分）
已知函数f（x）=。
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（3）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明。

Answer 1

（1）x∈（－1，1）
（2）函数f（x）是奇函数。
（3）函数f（x）= 在（－1，1）上是增函数.

试题分析：解：（1）由>0，解得－1<x<1，所以f（x）的定义域是（－1，1）   3分
证明：（2）由（1）知x∈（－1，1）
又因为f（－x）= ===－=－f（x）.
所以函数f（x）是奇函数。                                6分
（3）设－1<x<x<1，
f（x）－f（x）=－=
因为1－x>1－x>0；1+ x>1+ x>0，
所以>1.  所以>0.
所以函数f（x）= 在（－1，1）上是增函数.  
点评：解决的关键是利用奇偶性定义和单调性的定义来证明函数的性质，属于基础题。