题目内容

如图所示：在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，E、F分别为SA、SC的中点．如果AB=BC=2，AD=1，SB与底面ABCD成60°角．
（1）求异面直线EF与CD所成角的大小（用反三角形式表示）；
（2）求点D到平面SBC的距离．

解：（1）连接AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角．
计算得：AC=2 $\text{[math]}$ ，CD= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
所以异面直线 EF与CD成 $\text{[math]}$ 角．
另解：以A为坐标原点，AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系
计算SA=2 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$
计算得 $\text{[math]}$ ，所以异面直线 EF与CD成 $\text{[math]}$ 角
（2）由于SA⊥平面ABCD，所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°
计算得： $\text{[math]}$ S_△BCD=2
由于 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
分析：（1）法一：连接AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后用反三角表示即可．
法二：以A为坐标原点，AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系，求出异面直线EF与CD的方向向量，利用向量的夹角公式求出夹角即可；
（2）由于SA⊥平面ABCD，所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°，然后根据等体积法建立等式关系 $\text{[math]}$ ，求出h即为点D到平面SBC的距离．
点评：本题主要考查了两异面直线所成角，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．