Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ． 已知a1=1， =an+1﹣ n2﹣n﹣ ，n∈N* ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足an﹣an﹣1=bna ，求数列{bn}的n前项和Tn；
（3）是否存在实数λ，使得不等式λa ﹣ +a + ≥0恒成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，n∈N*．

∴ ①

∴当n≥2时， ②

由①﹣②，得

2Sn﹣2Sn﹣1=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1）．

∵2an=2Sn﹣2Sn﹣1

∴2an=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），

∴ ，

∴数列 是以首项为 ，公差为1的等差数列．

∴ ，

∴ ，当n=1时，上式显然成立．

∴

（2）an﹣an﹣1=bna bn= = = ．

∴Tn= + + +…+ ．①

Tn= + + +…+ ．②

由①﹣②，得

Tn= +2（ + + +…+ ）﹣ ．

= +2 ﹣ ．

∴Tn= ﹣ ，n∈N+

（3）λa ﹣ +a + ≥0λ（2n﹣ ）+2n+ ≥0，（n=2，4，6，8，10…）λ（2n﹣ ）+（2n﹣ ）2+2≥0，

令t=2n﹣ ，则t≥ ，

原不等式λt+t2+2≤0≥﹣（t+ ）．

∵t+ 在（ ，+∞）上单调递增，

∴t+ ≥ + = ．

∴λ≥﹣

【解析】（1）需要分类讨论：n=1和n≥2两种情况下的通项公式．当n≥2时，根据已知条件可以推知2Sn﹣2Sn﹣1=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1）．2an=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），由着两个式子可以得到数列 是以首项为 ，公差为1的等差数列．由此写出通项公式即可；（2）由an﹣an﹣1=bna 可得bn= = = ．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出；（3）将已知不等式变形为λ（2n﹣ ）+（2n﹣ ）2+2≥0，然后结合函数的单调性来求λ的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．