Question

已知函数f(x)=4cosωxsin(ωx+

π

6

)（ω为正常数）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求实数ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的对称轴和单减区间：
（ III）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最值及相应的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=4cosωxsin(ωx+

π

6

)=2sin(2ωx+

π

6

)+1，能求出ω．
（Ⅱ）由f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1，当2x+

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)时，能求出对称轴，当f（x）单调递减时，2x+

π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈Z)，f（x）的单减区间．
（III）由-

π

6

≤x≤

π

4

，知-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

．由此能求出当x=

π

6

时，f（x）取得最大值3，当x=-

π

6

时，f（x）取得最小值0．

解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=4cosωxsin(ωx+

π

6

)
=

3

sin2ωx+2co

s

2

ωx（2分）
=2sin(2ωx+

π

6

)+1（4分）
因为ω为正常数，故ω=1．（5分）
（Ⅱ）f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1（6分），
当2x+

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)时，
f（x）是轴对称图形，即对称轴x=

kπ

2

+

π

6

(k∈Z)（8分），
当f（x）单调递减时，2x+

π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈Z)，
即f（x）的单减区间是x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)
（不写k∈Z只扣（1分），不重复扣分）（10分）
（ III）∵-

π

6

≤x≤

π

4

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

．（11分）
于是，当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值3；（13分）
当2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

时，f（x）取得最小值0．（15分）
不写x值扣（1分）．

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查f（x）的对称轴和单减区间的求法，考查f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最值及相应的x值的求法．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．