Question

已知数列{a_n}中，a₁=，a_n•a_n-1=a_n-1-a_n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为T_n，证明T_n＜．

Answer 1

解：（I）当n=1时，b₁=，
当n≥2时，b_n-b_n-1=，
∴数列{b_n}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴通项公式为b_n=n+2；（5分）
（II）∵，
∴
=
=
=
∵
∴
∴
∴．（13分）
分析：（I）先由n=1，求出b₁，再由n≥2，求出b_n-b_n-1，由此可求出数列{b_n}的通项公式．
（II）由题设知，==
再由知．
点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要注意数列递推式和裂项求和法的灵活运用．