题目内容
若函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）的两个不同极值点x1，x2满足f（x1）+f（x2）≤0恒成立，则实数a的取值范围为
a≥2
a≥2
．分析：把x1，x2代入到f（x）中求出函数值代入不等式f（x1）+f（x2）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式，求出解集即可．
解答：解：因f（x1）+f（x2）≤0，故得不等式x13+x23-（1+a）（x12+x22）+a（x1+x2）≤0．
即（x1+x2）[（x1+x2）2-3x1x2]-（1+a）[（x1+x2）2-2x1x2]+a（x1+x2）≤0．
由于f′（x）=3x2-2（1+a）x+a．
令f′（x）=0得方程3x2-2（1+a）x+a=0．
因△=4（a2-a+1）≥4a＞0，
故
代入前面不等式，
两边除以（1+a），并化简得
2a2-5a+2≥0．
解不等式得a≥2或a≤
（舍去）
因此，当a≥2时，不等式f（x1）+f（x2）≤0成立．
即（x1+x2）[（x1+x2）2-3x1x2]-（1+a）[（x1+x2）2-2x1x2]+a（x1+x2）≤0．
由于f′（x）=3x2-2（1+a）x+a．
令f′（x）=0得方程3x2-2（1+a）x+a=0．
因△=4（a2-a+1）≥4a＞0，
故
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两边除以（1+a），并化简得
2a2-5a+2≥0．
解不等式得a≥2或a≤
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因此，当a≥2时，不等式f（x1）+f（x2）≤0成立．
点评：考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
若函数f（x）（x∈R）为奇函数，且存在反函数f-1（x）（与f（x）不同），F(x)=
，则下列关于函数F（x）的奇偶性的说法中正确的是（ ）
| 2f(x)-2f-1(x) |
| 2f(x)+2f-1(x) |
| A、F（x）是奇函数非偶函数 |
| B、F（x）是偶函数非奇函数 |
| C、F（x）既是奇函数又是偶函数 |
| D、F（x）既非奇函数又非偶函数 |