Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+2．
（1）若f（x）在x=1时，有极值﹣1，求b、c的值；
（2）当b为非零实数时，f（x）是否存在与直线（b²﹣c）x+y+1=0平行的切线，如果存在，求出切线的方程，如果不存在，说明理由；
（3）设函数f（x）的导函数为f′（x），记函数|f′（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值为M，求证：M≥ ．  

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²+2bx+c
∵f（x）在x=1时，有极值﹣1，
∴f′（1）=0，f（1）=﹣1
∴3+2b+c=0，1+b+c+2=﹣1
∴b=1，c=﹣5； 
（2）假设f（x）图象在x=t处的切线与直线（b²﹣c）x+y+1=0平行，
∵f′（t）=3t²+2bt+c，直线（b²﹣c）x+y+1=0的斜率为c﹣b²，
∴3t²+2bt+c=c﹣b²，
∴3t²+2bt+b=0
∴△=4b²﹣12b²=﹣8b²，
又∵b≠0，∴△＜0．
从而3t²+2bt+b²=0无解，
因此不存在t，使f′（t）=c﹣b²，
故f（x）图象不存在与直线（b²﹣c）x+y+1=0平行的切线．
（3）∵|f'（x）|=|，
①若|﹣|＞1，即b＞3或b＜﹣3时，M应为f'（﹣1）与f'（1）中最大的一个，
∴2M≥|f'（﹣1）|+|f'（1）|≥|f'（﹣1）﹣f'（1）|≥|4b|＞12
∴M＞6＞
②若﹣3≤b≤0时，2M≥|f'（﹣1）|+|f'（﹣）|≥|f'（﹣1）﹣f'（﹣）|=|（b﹣3）²|≥3，
∴M≥
③若0＜b≤3时，2M≥|f'（1）|+|f'（﹣）|≥|f'（1）﹣f'（﹣）|=|（b+3）²|＞3，
∴M＞，M≥