Question

【题目】椭圆： 的离心率为，过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点且，又过左焦点任作直线交椭圆于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）椭圆上两点， 关于直线对称，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

(1)由题意求得， ，∴椭圆的方程为．

(2)当直线斜率存在且时，联立直线与椭圆的方程计算可得假设 不成立；

当直线的斜率时，面积函数，结合椭圆方程和均值不等式的结论可得面积的最大值为.

试题解析：

（Ⅰ）由条件有，∴，又，且，

∴， ，∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）依题意直线不垂直轴，当直线的斜率时，可设直线的方程为（），则直线的方程为．

由得，

，即，①

设的中点为，则， ，

点在直线上，∴，故，②

此时与①矛盾，故时不成立．

当直线的斜率时， ， （， ），

的面积，

∵，

∴，

∴面积的最大值为，当且仅当时取等号．