Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：平面A₁BD ∥平面CB₁D₁ ．

Answer 1

证明：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD₁所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则A₁(1，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，D₁(0，0，1)，B₁(1，1，1)，C(0，1，0).
=（-1，0，-1），=（0，1，-1），=(1，1，0)，=（0，1，-1）．
设平面A₁DB的法向量n₁=(x，y，z)，
则得
令x=-1，则y=z=1，
∴平面A₁DB的一个法向量n₁=（-1，1，1）．
同理，平面CB₁D₁的一个法向量n₂=（1，-1，-1）．
∴n₁=-n₂，即n₁∥n₂，
∴平面A₁BD∥平面CB₁D₁．