Question

△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列；
（Ⅰ）若sin²B=sinAsinc，试判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若△ABC为钝角三角形，且a＞c，试求代数式sin2

C

2

+

3

sin

A

2

COS

A

2

-

1

2

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列，以及sin²B=sinAsinc，推出B=60°，a=c，即可判断△ABC的形状；
（Ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式化简sin2

C

2

+

3

sin

A

2

COS

A

2

-

1

2

为一个角的一个三角函数的形式，根据A的范围确定表达式的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵sin²B=sinAsinC，∴b²=ac．
∵A，B，C依次成等差数列，∴2B=A+C=π-B，B=

π

3

．
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，a²+c²-ac=ac，∴a=c．
∴△ABC为正三角形．
（Ⅱ）sin2

C

2

+

3

sin

A

2

cos

A

2

-

1

2

=

1-cosC

2

+

3

2

sinA-

1

2

=

3

2

sinA-

1

2

cos(

2π

3

-A)
=

3

2

sinA+

1

4

cosA-

3

4

sinA
=

3

4

sinA+

1

4

cosA
=

1

2

sin(A+

π

6

)
∵

π

2

＜A＜

2π

3

，∴

2π

3

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)＜

3

2

，

1

4

＜

1

2

sin(A+

π

6

)＜

3

4

．
∴代数式sin2

C

2

+

3

sin

A

2

cos

A

2

+

3

2

的取值范围是(

1

4

，

3

4

)．

点评：本题是中档题，考查三角函数化简求值，正弦定理的应用，二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，函数值域的确定，考查计算能力．