Question

【题目】已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图像上．

（I）求数列的首项和通项公式；

（II）若数列满足，求数列的前项和；

（III）已知数列满足．若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（I）由点都在函数的图像上，可得，进而得，两式相减可得结论.；（II）由（I）知，所以，利用错位相减法可得结果；（III），利用分组求和及裂项相消法可得，进而利用不等式恒成立解答即可.

试题解析：（I）由题知，当时， ，所以．

，所以，两式相减得到

，

因为正项数列，所以，

数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以．

（II）由（I）知，所以，

因此①，

②，

由①-②得到

所以．

（III）由（II）知，所以

．令为的前项和，易得．

因为，当时，

，而，得到

，所以当时， ，所以．

又， 的最大值为．

因为对任意的，存在，使得成立．

所以，由此．

【易错点晴】本题主要考查分组求和、裂项求和、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.