Question

如图所示，在长方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点.

   （1）求证：BD₁∥平面PAC.

   （2）求直线BD₁到平面PAC的距离.

Answer 1

（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结OP.在长方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，

∵AB=AD=1，      

∴四边形ABCD是正方形，

∵O为BD的中点，

又∵P为DD₁的中点，

∴OP∥BD₁，

∴BD₁∥平面PAC.

   （2）解：∵BD₁∥平面PAC

∴点B到平面PAC的距离就是直线BD₁到平面PAC的距离.

∵O为BD的中点，

∴点D到平面PAC的距离就是点B到平面PAC的距离.

设点D到平面PAC的距离为d，

则：，

∵在△PAC中，PC=PA=AC=，

即：直线BD₁到平面PAC的距离为.