题目内容
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=
AA，D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE，
（Ⅰ）证明平面ADE⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。
AA，D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE，（Ⅰ）证明平面ADE⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。
解：（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱 的性质，知  ，又DE  平面A1B1C1，所以DE⊥AA1， 而DE⊥AE，AA1∩AE=A， 所以DE⊥平面ACC1A1， 又DE  平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1。（Ⅱ）如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF， 由正三棱柱  的性质及D是A1B的中点，知A1B⊥C1D，A1B⊥DF， 又C1D∩DF=D， 所以A1B⊥平面C1DF， 而AB∥A1B， 所以AB⊥平面C1DF， 又AB  平面ABC，故平面ABC1⊥平面C1DF。 过点D作DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1， 连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角， 由已知AB=  AA1，不妨设  ，则AB=2，  ， ， ，所以  ，即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为  |
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B、
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C、
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