Question

已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求证：是等比数列并求通项公式

（Ⅲ）令，，求数列的前n项和.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由        ①

得        ②           1分

由②—①，得  

即：                  2分

由于数列各项均为正数，

                                  3分

即 数列是首项为，公差为的等差数列，

数列的通项公式是            4分

（Ⅱ）由知，

所以，                        5分

有，即， 6分

而，

故是以为首项，公比为2的等比数列.                  7分

所以                                              8分

（Ⅲ），                 9分

所以数列的前n项和 

错位相减可得                         12分

考点：等差数列、等比数列的通项公式， “错位相减法”。

点评：中档题，确定数列通项公式，往往利用已知条件，建立相关“元素”的方程组，达到解题目的。 本题利用前n项和与提醒的关系，确定数列的通项公式，也是较为常见的题型。“分组求和法”“裂项相消法”“错位相减法”是高考常常考查的数列求和方法。本题对运算能力要求较高。