Question

如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有5N和3N的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m（N）的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数m的取值范围．（滑轮大小可忽略不计）

Answer 1

分析：本题由向量加法的物理意义建立方程得到具有物理背景的量的方程，然后根据三角的相关公式整理出正数m关于角的函数，再进行恒等变换求出参数的取值范围．

解答：解：如图建立坐标系，记OB、OA与y轴的正半轴的夹角
分别为α，β，则由三角函数定义得

OB

=(3sinα， 3cosα)，

OA

=(5cos(90°+β)， 5sin(90°+β))=(-5sinβ，5cosβ)

OC

=(0， -m)
由于系统处于平衡状态，∴

OC

+

OB

+

OA

=

0

∴

3sinα-5sinβ=0 (1) 3cosα+5cosβ=m  (2)

两式平方相加得34+30cos（α+β）=m²
由（1）知sinβ=

3

5

sinα，而α，β∈[0，

π

2

]
∴β随α单调递增，且sinβ≤

3

5

=sinθ
∴0≤β≤θ
且β＜α≤

π

2

（写成β≤α≤

π

2

不扣分，这时α，β均为0）
从而0＜α+β≤

π

2

+θ，（这里α+β的范围不是（0，π），这是易错点）
∴cos(

π

2

+θ)≤cos(α+β)＜1，即-

3

5

≤cos(α+β)＜1
∴16≤m²＜64∴正数m的取值范围为4≤m＜8．

点评：本题考点是平面微量的正交分解及坐标表示，考查了有实际物理背景的向量之间的运算，本题用向量的加法法则建立起相关的方程，然后求出参数，用向量方法求解物理问题是向量的一个重要运用，就好好总结物理量与向量的关联方法．