题目内容
已知函数f（x）=
+
（a∈N*），对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）-f（x2）|＜1，则正整数a 的取值个数是（ ）
| a-x |
| x |
| A、2 | B、3 | C、5 | D、7 |
分析：由条件对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）-f（x2）|＜1，问题可以转化为f（x）max-f（x）min＜1，因此求函数的最值是关键．求最值时，利用换元法求解．
解答：解：由题意，
=
cosα，
=
sinα(α∈[0，
]，f(x)=
cosα+
sinα=
sin(α +
)，
从而有f(x)max=
，f(x)min=
，∴
-
＜1解得a＜3+2
，∵a∈N*，∴a=1，2，3，4，5，
故选C．
| x |
| a |
| a-x |
| a |
| π |
| 2 |
| a |
| a |
| 2a |
| π |
| 4 |
从而有f(x)max=
| 2a |
| a |
| 2a |
| a |
| 2 |
故选C．
点评：解答时等价转化是解题的关键，求解函数的最值运用三角换元法，应注意参数角的范围．
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