Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F分别是AD，AA₁的中点．
（1）求直线EF和直线AB₁所成的角的大小；
（2）求二面角D-A₁C₁-D₁的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用平移法，可得∠C₁DA₁（或其补角）就是直线EF和直线AB₁所成的角，利用等边三角形，即可得到结论；
（2）连接B₁D₁，交A₁C₁于O，连接OD，则∠DOD₁为二面角D-A₁C₁-D₁的平面角，即可得到结论．

解答：解：（1）∵E，F分别是AD，AA₁的中点，
∴EF∥A₁D
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体
∴AB₁∥DC₁
∴∠C₁DA₁（或其补角）就是直线EF和直线AB₁所成的角，
在△C₁DA₁中，A₁D=DC₁=A₁C₁，∴∠C₁DA₁=60°，
即直线EF和直线AB₁所成的角是60°；
（2）连接B₁D₁，交A₁C₁于O，连接OD，则∠DOD₁为二面角D-A₁C₁-D₁的平面角
∴tan∠DOD₁=

DD1

OD1

=

2

，
即二面角D-A₁C₁-D₁的正切值为

2

．

点评：本题考查线面角，考查面面角，考查学生的计算能力，正确作出空间角是关键．