Question

【题目】已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知圆M：的切线与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

(1)根据抛物线的方程确定椭圆的顶点，结合离心率可得a、b的值，进而求得椭圆的方程；

（2）首先利用特殊情况确定点的坐标，然后根据直线和圆、椭圆的位置关系验证以AB为直径的圆是否过定点.

（1）因为椭圆的离心率，所以，即．

因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，

所以，所以．所以椭圆的方程为．

（2）（i）当直线的斜率不存在时．

因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为．

由，不妨设，，

则以为直径的圆的方程为．

（ii）当直线的斜率为零时．

因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为．

由，不妨设，，

则以为直径的圆的方程为．

显然以上两圆都经过点．

（iii）当直线的斜率存在且不为零时．

设直线的方程为．

由消去，得，

所以设，，则，．

所以．

所以．①

因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，

整理，得， ②

将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点，

综上可知，以为直径的圆过定点．