Question

17．已知$\frac{3}{4}$＜α＜π，3tanα+$\frac{1}{tanα}$=-4．
（1）求tanα；
（2）求$\frac{5si{n}^{2}\frac{α}{2}+8sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+11co{s}^{2}\frac{α}{2}-8}{\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{2}）}$的值．

Answer 1

分析 （1）求解关于tanα的二次方程，结合α的范围求得tanα；
（2）利用诱导公式及倍角公式化简，然后转化为含有tanα的代数式得答案．

解答 解：（1）由3tanα+$\frac{1}{tanα}$=-4，得3tan²α+4tanα+1=0，解得：tan$α=-\frac{1}{3}$或tanα=-1．
∵$\frac{3}{4}$π＜α＜π，∴tan$α=-\frac{1}{3}$；
（2）$\frac{5si{n}^{2}\frac{α}{2}+8sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+11co{s}^{2}\frac{α}{2}-8}{\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{2}）}$
=$\frac{5•\frac{1-cosα}{2}+4sinα+11•\frac{1+cosα}{2}-8}{-\sqrt{2}cosα}$
=$\frac{\frac{5}{2}-\frac{5}{2}cosα+4sinα+\frac{11}{2}+\frac{11}{2}cosα-8}{-\sqrt{2}cosα}$
=$\frac{4sinα+3cosα}{-\sqrt{2}cosα}$
=$\frac{4tanα+3}{-\sqrt{2}}$
=$\frac{-\frac{4}{3}+3}{-\sqrt{2}}$
=$-\frac{5\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础的计算题．