Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2

3

，tan

A+B

2

+tan

C

2

=4，2sinBcosC=sinA，求A，B及b，c．

Answer 1

分析：由tan

A+B

2

+tan

C

2

=4可求得得cot

C

2

+tan

C

2

=4，把切转化成弦化简整理可求得sinC=

1

2

，进而求得C，对2sinBcosC=sinA化简可得sin（B-C）=0，进而求得B，最后由正弦定理即可求得b，c．

解答：解：由tan

A+B

2

+tan

C

2

=4得cot

C

2

+tan

C

2

=4
∴

cos C 2

sin C 2

+

sin C 2

cos C 2

=4
∴

1

sin C 2 cos C 2

=4
∴sinC=

1

2

，又C∈（0，π）
∴C=

π

6

，或C=

5π

6

由2sinBcosC=sinA得2sinBcosC=sin（B+C）
即sin（B-C）=0∴B=C=

π

6

A=π-(B+C)=

2π

3

由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得b=c=a

sinB

sinA

=2

3

×

1 2

3 2

=2

点评：本题主要考查三角形中的几何计算．常涉及正弦定理、余弦定理和面积公式及三角函数公式等常用公式．