Question

【题目】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 或．

【解析】试题分析:(1) 设椭圆的方程为： ，根据已知点和离心率列方程解出a,b,求出椭圆的方程;(2) 由已知直线过左焦点, 当直线与轴垂直时，经检验不合题意; 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为： ,与椭圆方程联立,消去y,得出关于x的一元二次方程,写出韦达定理,根据面积公式求出k的值,可得直线方程.

试题解析:

（1）设椭圆的方程为： ，

由已知： 得： ， ，

所以，椭圆的方程为： .

（2）由已知直线过左焦点．

①当直线与轴垂直时， ， ，此时，

则，不满足条件．

②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：

由　得

所以， ，

而，

由已知得，

所以，则，所以，

所以直线的方程为： 或．

点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．