Question

已知sinx+siny=,求siny-cos²x的最小值和最大值.

Answer 1

解:由已知,得siny=-sinx.

∵siny∈[-1,1],

∴-1≤-sinx≤1.

∴-≤sinx≤.

又sinx≤1,∴-≤sinx≤1.

∴siny-cos²x=-sinx-(1-sin²x)=(sinx)²-.

∴当sinx=时,siny-cos²x有最小值-;

当sinx=-时,siny-cos²x有最大值.

点评:对于这类已知sinα+sinβ=m,m∈[-2,2]的三角问题,sinα或sinβ不一定能取到±1,所以要注意题目的隐含条件.学生很容易得出以下错解：

∵siny=-sinx,

∴siny-cos²x=-sinx-(1-sin²x)=(sinx)²-.

∴当sinx=时,siny-cos²x有最小值-;

当sinx=-1时,siny-cos²x有最大值.^?

这显然是错误的.错误的原因是忽视了siny的取值范围是:siny∈[-1,1].