Question

 （本题满分12分）

设函数,曲线在点处的切线方程为.

(1)求的解析式;(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

 

Answer 1

【答案】

(1). (2)曲线上任一点处的切线与直线,

所围成的三角形的面积为定值

 

【解析】本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，求解切线方程，以及运用三角形的面积公式求解面积的综合运用。

（1）根据曲线在点处的切线方程为，说明在x=2处的导数值为7/4,然后利用求导，代值得到结论。

（2）利用切线方程分别得到与x,y轴交点的坐标，然后，运用坐标表示长度得到三角形的面积

解:(1)方程可化为.

当时,. 又,

于是解得 ,故.

(2)设为曲线上任一点,由知曲线在点处的切线方程为

,即.

令得,从而得切线与直线的交点坐标为.

令得,从而得切线与直线的交点坐标为.

所以点处的切线与直线,所围成的三角形面积

为.故曲线上任一点处的切线与直线,

所围成的三角形的面积为定值