Question

已知函数f（x）=x³+ax²-2x+5．
（Ⅰ）若f（x）在区间（-

2

3

，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的值；
（Ⅱ）求正整数a，使得f（x）在区间（-3，

1

6

）上为单调函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，根据函数f（x）在（-

2

3

，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可得x=1是方程f′（x）=0的根，从而可求实数a的值；
（Ⅱ）使得f（x）在区间（-3，

1

6

）上为单调函数，只需f′（-3）≤0，且f′（

1

6

）≤0，结合a是正整数，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax-2
由函数f（x）=x³+ax²-2x+5在区间（-

2

3

，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增
可得f′（1）=0即2a+1=0
∴a=-

1

2

；
（Ⅱ）令f′（x）=3x²+2ax-2=0，可得x1=

-a- a2+6

3

，x2=

-a+ a2+6

3

．
当a是正整数时，x₁＜0＜x₂．
使得f（x）在区间（-3，

1

6

）上为单调函数，只需f′（-3）≤0，且f′（

1

6

）≤0，
即25-6a≤0，且

1

3

a-

23

12

≤0，所以

25

6

≤a≤

23

4

由已知a为正整数，得a=5．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．