Question

【题目】已知函数（， 为自然对数的底数）在点处的切线经过点．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 当时，函数在上单调递减；当时，函数在上递减，函数在上单调递增；（2）.

【解析】试题分析: （Ⅰ）求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间， 得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.

试题解析：（Ⅰ）因为，所以过点的直线的斜率为，

而，由导数的几何意义可知， ，

所以，所以．则，

当时， ，函数在上单调递减；当时，由得，

当时， ，函数单调递减，当时， ，

函数单调递增．

（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，设，

若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，

当时， 单调递减；

当时， 单调递增，

所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即当时， 恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．