Question

已知数列{a_n}满足a₁+

a2

2

+…+

an

n

=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2n2-n

an

，数列{b_n}的前n项和为S_n．若对一切n∈N^*，都有S_n＜M成立（M为正整数），求M的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a1+

a2

2

+…+

an

n

=2n-1，得a1+

a2

2

+…+

an-1

n-1

=2n-1-1(n≥2)，两式相减能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

2n2-n

an

=

2n-1

2n-1

，利用错位相减法求出Sn=6-

2n+3

2n-1

，由此能求出M的最小值．

解答： 解：（1）∵a1+

a2

2

+…+

an

n

=2n-1，
∴a1+

a2

2

+…+

an-1

n-1

=2n-1-1(n≥2)，
两式相减，得an=n•2n-1（n≥2），…（3分）
又a1=21-1=1，
故数列{a_n}的通项公式an=n•2n-1．…（5分）
（2）∵bn=

2n2-n

an

=

2n-1

2n-1

，…（6分）
∴Sn=

1

20

+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，①

1

2

Sn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，②
∴

1

2

Sn=1+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=1+

1×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．
∴Sn=6-

2n+3

2n-1

…（11分），
∵Sn=6-

2n+3

2n-1

＜6，∴M≥6，
即M的最小值为6．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．