Question

（本小题共14分）
在单调递增数列中，，不等式对任意都成立.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）判断数列能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设，，求证：对任意的，.

Answer 1

(1) (2) 用反证法证明：假设数列是公比为的等比数列, 因为单调递增，所以.因为，都成立,从而加以证明。
(3)通过前几项归纳猜想，然后运用数学归纳法加以证明。

试题分析：（Ⅰ）解：因为是单调递增数列，
所以，.
令，，，
所以.                  ………………4分 
（Ⅱ）证明：数列不能为等比数列.
用反证法证明：
假设数列是公比为的等比数列，，.
因为单调递增，所以.
因为，都成立.
所以，  ①
因为，所以，使得当时，.
因为.
所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立.………9分
（Ⅲ）证明：观察： ，，，…，猜想：.
用数学归纳法证明：
（1）当时，成立；
（2）假设当时，成立；
当时，
 
所以.
根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.
由已知得，.
所以.
所以当时，.
因为.
所以对任意，.
对任意，存在，使得，
因为数列{}单调递增，
所以，.
因为，
所以.                 ………………14分
点评：解决数列的单调性问题，要根据定义法来说明，同时要对于正面证明比较难的试题，要正难则反，属于中档题。