Question

（2013•宝山区二模）已知函数f（x）=x²+a．
（1）若F(x)=f(x)+

2

bx+1

是偶函数，在定义域上F（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，令g（x）=f（f（x））-λf（x），问是否存在实数λ，使g（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，0）上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把函数f（x）的解析式代入函数F（x）利用函数是偶函数求出b=0，把b=0代回函数F（x）的解析式，由F（x）≥ax恒成立分离出参数a，然后利用基本不等式求最值，则a的范围可求；
（2）把a=1代入函数f（x）的解析式，求出函数g（x）解析式，由偶函数的定义得到函数g（x）为定义域上的偶函数，把函数g（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，0）上是增函数转化为在区间（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数，换元后利用复合函数的单调性得到换元后的二次函数的对称轴，由对称轴可求λ的值．

解答：解：（1）F(x)=f(x)+

2

bx+1

=x2+a+

2

bx+1

．
由F（x）是偶函数，∴F（-x）=F（x），即(-x)2+a+

2

-bx+1

=x2+a+

2

bx+1

∴-bx+1=bx+1，∴b=0．
即F（x）=x²+a+2，x∈R．
又F（x）≥ax恒成立，即x²+a+2≥ax恒成立，也就是a（x-1）≤x²+2恒成立．
当x=1时，a∈R
当x＞1时，a（x-1）≤x²+2化为a≤

x2+2

x-1

=(x-1)+

3

x-1

+2，
而(x-1)+

3

x-1

+2≥2

(x-1)• 3 x-1

+2=2

3

+2，∴a≤2

3

+2．
当x＜1时，a（x-1）≤x²+2化为a≥

x2+2

x-1

=(x-1)+

3

x-1

+2，
而(x-1)+

3

x-1

+2=-[(1-x)+

3

1-x

]+2≤-2

(1-x)• 3 1-x

+2=2-2

3

，∴a≥-2

3

+2
综上：-2

3

+2≤a≤2

3

+2；
（2）存在实数λ=4，使g（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，0）上是增函数．
事实上，当a=1时，f（x）=x²+1．
g（x）=f（f（x））-λf（x）=（x²+1）²+1-λ（x²+1）=x⁴+（2-λ）x²+（2-λ）．
∵g（-x）=（-x）⁴+（2-λ）（-x）²+（2-λ）=g（x）
∴g（x）是偶函数，要使g（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，0）上是增函数，
即g（x）只要满足在区间（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数即可．
令t=x²，当x∈（0，1）时t∈（0，1）；x∈（1，+∞）时t∈（1，+∞），
由于x∈（0，+∞）时，t=x²是增函数，记g（x）=H（t）=t²+（2-λ）t+（2-λ），
故g（x）与H（t）在区间（0，+∞）上有相同的增减性，
当二次函数H（t）=t²+（2-λ）t+（2-λ）在区间（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数时，
其对称轴方程为t=1，
∴-

2-λ

2

=1，解得λ=4．

点评：本题考查了函数的性质，考查了函数的单调性与奇偶性的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了分离变量及利用基本不等式求参数的取值范围，考查了二次函数的单调性．属难题．