题目内容
已知四棱锥P—ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点.
(1)求四棱锥P—ABCD的体积；
(2)若点F在线段BD上且DF=3BF，则当
等于多少时，有EF∥平面PAB？并证明你的结论；
(3)试证明P、A、B、C、D五个点在同一球面上.
解:(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.
∴VP—ABCD=
S正方形ABCD·PC=
.
(2)当
=
时,有EF∥平面PAB.
连结CF延长交AB于G，连结PG，在正方形ABCD中，DF=3BF.
由△BFG∽△DFC得
.
在△PCG中，
,
∴EF∥PG.又PG
平面PAB，EF
平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
(3)证明:取PA的中点O.连结OB、OC、OD，
连结AC，
在四棱锥P—ABCD中，侧棱PC⊥平面ABCD,
底面ABCD为正方形，
可知△PCA、△PBA、△PDA均是直角三角形，
又O为PA中点,∴OA=OP=OB=OC=OD.
∴点P、A、B、C、D在以点O为球心的球面上.
练习册系列答案
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