题目内容

已知a＞0，函数f（x）= $数学公式$ +lnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a= $数学公式$ 时，求f（x）的最小值；
（Ⅲ）当a=1时，设数列{ $数学公式$ }的前n项和为S_n，求证：S_n-1＜f（n）- $数学公式$ ＜S_n-1（n∈N且n≥2）．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ 若f（x）在x∈[1，+∞）是单调递增函数，
则 $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ ，∵x∈[1，+∞），∴ $\text{[math]}$ ，∴a≥1
（Ⅱ）当a= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
由f'（x）＜0，得0＜x＜2；由f'（x）＞0，得x＞2
∴f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数．
∴f（x）_min=f（2）=ln2-1
（Ⅲ）当a=1 时，由（Ⅱ）知； $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上为增函数，
∵ $\text{[math]}$
又∵当x＞1时，f（x）＞f（1），∴ $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$
从而可以知道，函数g（x）在[1，+∞）上是递增函数，
所以有g（x）＞g（1）=0，即得x-1＞lnx．
综上有：1- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
令x=1，2，…，n-1，（n∈N^*，且n≥2）时，不等式 $\text{[math]}$ 也成立，于是代入，
将所得各不等式相加，得
$\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
即∴ $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）先求出f’（x），利用它是单调增函数，得含参的不等式然后利用恒成立问题求得a的范围．
（Ⅱ）将a的值代入得f（x）的表达式，然后用求导的方法判断其单调性，从而求出函数f（x）的最小值．
（Ⅲ）先构造两个不等式 $\text{[math]}$ ，并给出证明，然后将x=1，2，…，n-1代入不等式 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，化简即证．
点评：此题考查利用求导的方法判断函数的单调性求最值．