Question

已知函数f（x）=ax_³+bx²+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．
（1）当a=时，若不等式f'（x）＞-对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（2）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，讨论关于x的方程f（x）=k在[-1，+∞）上实数根的情况．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，利用不等式f'（x）＞-对任意x∈R恒成立，可得x²+2bx+b＞0恒成立，利用判别式可得b的取值范围；
（2）利用函数f（x）为奇函数，函数f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，求出函数解析式，从而确定函数的单调性，求出函数的极值，再分类讨论，即可得到结论．
解答：解：（1）当a=时，f′（x）=x²+2bx+b-，
依题意f′（x）=x²+2bx+b-＞，即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得0＜b＜1
所以b的取值范围是（0，1）；
（2）∵函数f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴b=0，∴函数f（x）=ax³-ax
∴f′（x）=3ax²-a
∵函数f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0
∴a=1
∴f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1
∴f（x）在（-∞，-），（，+∞）上单调递增，在（-，）上单调递减
由f（x）=0得x=±1，x=0
f（x）在[-1，+∞）上图象如图所示
∵f（）=，f（）=-，
∴当k＜-时，f（x）=k在[-1，+∞）上没有实数根；
当k＞或k=-时，f（x）=k在[-1，+∞）上有且只有一个实数根；
当k=或-＜k＜0时，f（x）=k在[-1，+∞）上有两个实数根；
当0＜k＜时，f（x）=k在[-1，+∞）上有三个实数根．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查方程根的讨论，属于中档题．