Question

（1）（几何证明选讲）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=θ，则tanθ的值为

5

2

．
（2）（坐标系与参数方程）圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为

x-y-2=0

．
（3）（不等式选讲）若不等式|3x-b|＜4的解集中的整数有且仅有0，1，2，则b的取值范围是

（2，4）

．

Answer 1

分析：（1）求tanθ的值，可转化为解△OCD，根据相交弦定理，不难求出CD与半径的关系，根据已知也很容易求出OD与半径的关系；
（2）把 圆O₁和圆O₂的极坐标方程化为直角坐标方程，求出两个圆的圆心坐标，用截距式求出经过两圆圆心的直线的直角坐标方程，并化为一般式．
（3）由不等式|3x-b|＜4可得可得

b-4

3

＜x＜

4+b

3

，由题意可得-1≤

b-4

3

＜0，且 2＜

4+b

3

≤3，由此求得b的取值范围．

解答：解：（1）令圆O的半径为R，即OA=OB=OC=R
∵AD=5DB∴OD=

2

3

R，AD=

5

3

R，BD=

1

3

R
由相交弦定理可得：CD²=AD•BD=

5

9

R2，∴CD=

5

3

R
∴tanθ=

CD

OD

=

5

2

（2））∵圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，
故它们的直角坐标方程为x²+y²=4x，x²+y²=-4y，
故圆心坐标分别为（2，0）、（0，-2），
故经过两圆圆心的直线的直角坐标方程

x

2

+

y

-2

=1，即x-y-2=0；
（3）由不等式|3x-b|＜4可得

b-4

3

＜x＜

4+b

3

，
由解集中的整数有且仅有0，1，2，可得-1≤

b-4

3

＜0，且 2＜

4+b

3

≤3．
解得-1≤b＜4，且 2＜b≤5，故有2＜b＜4，
故b的取值范围是（2，4），
故答案为：

5

2

；x-y-2=0；（2，4）．

点评：本题主要考查几何证明选讲，考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，绝对值不等式的解法，属于中档题．