Question

 [2012·湖北卷] 某个实心零部件的形状是如图1－7所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A₁B₁C₁D₁－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A₂B₂C₂D₂.

图1－7

(1)证明：直线B₁D₁⊥平面ACC₂A₂；

(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB＝10，A₁B₁＝20，AA₂＝30，AA₁＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

Answer 1

解：(1)因为四棱柱ABCD－A₂B₂C₂D₂的侧面是全等的矩形，

所以AA₂⊥AB，AA₂⊥AD，又因为AB∩AD＝A，所以AA₂⊥平面ABCD.

连接BD，因为BD⊂平面ABCD，所以AA₂⊥BD.

因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

根据棱台的定义可知，BD与B₁D₁共面．

又已知平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，且平面BB₁D₁D∩平面ABCD＝BD，

平面BB₁D₁D∩平面A₁B₁C₁D₁＝B₁D₁，所以B₁D₁∥BD.于是

由AA₂⊥BD，AC⊥BD，B₁D₁∥BD，可得AA₂⊥B₁D₁，AC⊥B₁D₁，

又因为AA₂∩AC＝A，所以B₁D₁⊥平面ACC₂A₂.

(2)因为四棱柱ABCD－A₂B₂C₂D₂的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S₁＝S_{四棱柱上底面}＋S_{四棱柱侧面}＝(A₂B₂)²＋4AB·AA₂＝10²＋4×10×30＝1 300(cm²)．

又因为四棱台A₁B₁C₁D₁－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形．

所以S₂＝S_{四棱台下底面}＋S_{四棱台侧面}

＝(A₁B₁)²＋4×(AB＋A₁B₁)h_{等腰梯形的高}

＝20²＋4×(10＋20)

＝1 120(cm²)．

于是该实心零部件的表面积为S＝S₁＋S₂＝1 300＋1 120＝2 420(cm²)，

故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2 420＝484(元)．