Question

【题目】（12分）

如图，在四棱锥

.

（1）当PB=2时，证明：平面平面ABCD.

（2）当四棱锥的体积为，且二面角为钝角时，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析.

（2）.

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，，则，由，推出∥，根据，推出，即可证明为矩形，则，即可证明，从而可证平面平面；（2）由，，推出平面，可得平面 平面，过点作平面，根据四棱锥的体积为，即可算出，从而可得的值，以为坐标原点，，所在的直线为，轴，在平面内过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出向量与平面的一个法向量，即可求出求直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：(1)证明：如图，取的中点，连接.

∵为正三角形

∴.

∵

∴

∵

∴，

∴四边形为矩形

∴.

在中，，所以，则.

∵

∴平面

又∵平面

∴平面平面.

(2)解：如图，取的中点，连接，，

平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以过点作 平面，垂足一定落在平面与平面的交线上.

∵四棱锥的体积为，

∴ ，

∴.

∵

∴

以为坐标原点，所在直线为轴、轴，在平面内过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系.由题意可知 ，故

，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以.

设直线与平面所成的角为，则.

故直线与平面所成角的正弦值为.