Question

已知函数f(x)=4x2+

1

x

，(x≠0)
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）设函数g(x)=ax3+

1

x

，(a＞0)，若对于任意的x∈（0，2]，都有f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先出函数的导函数，然后解不等式f'（x）＞0，求出的解集即为函数f（x）的单调递增区间；
（II）对于任意的x∈（0，2]，都有f（x）≥g（x）成立即g(x)=ax3+

1

x

≤4x²+

1

x

在x∈（0，2]上恒成立，然后将a分离出来，使a小于等于

4

x

的最小值，即可求出a的范围．

解答：解：（I）∵f(x)=4x2+

1

x

，(x≠0)
∴f'（x）=8x-

1

x2

令8x-

1

x2

＞0解得：x＞

1

2

∴函数f（x）的单调递增区间（

1

2

，+∞）
（II）∵对于任意的x∈（0，2]，都有f（x）≥g（x）成立
∴g(x)=ax3+

1

x

≤4x²+

1

x

在x∈（0，2]上恒成立
即a≤

4

x

而

4

x

在（0，2]上的最小值为2
∴0＜a≤2

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及闭区间上的最值和恒成立等有关知识，属于中档题．