Question

（2009•闵行区二模）（文）对于任意x∈(0，

π

2

]，不等式psin²x+cos⁴x≥0恒成立，则实数p的最小值为

0

．

Answer 1

分析：由psin²x+cos⁴x≥0，知p（1-cos²x-cosx⁴）≥0，所以-（cos²x+

p

2

）²-p+

1

4

p²≥0，（cos²x-

p

2

）²≤p-

1

4

p²，p≥4或p≤0，由此解得p的最小值为0．

解答：解：∵psin²x+cos⁴x≥0，
∴p（1-cos²x）+cosx⁴≥0，
-（cos²x+

p

2

）²-p+

1

4

p²≥0，
（cos²x-

p

2

）²≤p-

1

4

p²（1）
当p-

1

4

p²＜0时（1）式显然不成立，
  p≥4或p≤0，
当0≤p≤2即0＜

p

2

≤1，p-

1

4

p²≥0，
   0≤（cos²x-

p

2

）²≤

1

4

p²≤p-

1

4

p²，0≤p≤2，
  2≤p≤4，0≤（cos²x-

p

2

）²≤

1

4

p²≤p-

1

4

p²，p=2，
  p的最小值为0．
故答案为：0．

点评：本题考查正弦函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换．