Question

已知函数

若函数在和上是增函数，在是减函数，求的值；

讨论函数的单调递减区间；

如果存在，使函数，，在处取得最小值，试求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

;当时，单调减区间为当时，单调减区间为;

.

【解析】

试题分析：通过求导以及极值点的导数计算的值为1；通过导数与函数的单调性关系讨论函数的单调减区间；先写出函数表达式，是一个三次多项式.由，在处取得最小值知在区间上恒成立，从而得 再讨论与时利用二次函数在闭区间的最值问题解得.

试题解析：（Ⅰ）                                      1分

函数在和上是增函数，在上是减函数，

∴为的两个极值点，∴即           3分

解得：                                                        4分

（Ⅱ），的定义域为，

              5分

当时，由解得，的单调减区间为         7分

当时，由解得，的单调减区间为  9分

（Ⅲ），据题意知在区间上恒成立，即①                          10分

当时，不等式①成立；

当时，不等式①可化为②           11分

令，由于二次函数的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在端点处取得，又，所以不等式②恒成立的充要条件是，即                         12分

即，因为这个关于的不等式在区间上有解，所以

                  13分

又，故，                   14分

考点：1.函数的求导；2.利用导数求函数单调性；3.利用二次函数图象解一元二次不等式的恒成立问题.